Расчет мачт

Суть проблемы

Проблема прочности и надежности мачты может стоять и перед проектировщиком яхты для участия в «Кубке Америки» и для яхтсмена-любителя, строящего в гараже небольшую яхточку. И если в первом случае потеря мачты может лишить яхту всех шансов на победу, то во втором, окажись человек на пятиметровой яхте со сломанной мачтой посредине Ладоги в штормовую погоду, то может оказаться, что он уже рискует жизнью.

Занимаясь уже много лет расчетами мачт, мы решили поделиться накопленным опытом. И может быть наша статья пойдет на пользу, как любителям самостоятельной постройки, так и людям профессионально занимающихся проектированием и постройкой яхт.

Отчего ломаются мачты? Однозначного ответа, к сожалению, дать не возможно. Это может произойти как по причине конкретной проектной ошибки, так и по совокупности ряда факторов, учесть которые трудно, а порой и не возможно. Основными проблемами являются следующие: потеря устойчивости мачты или краспицы; потеря прочности мачты или какого либо ее элемента; усталостное разрушение материала рангоута или стоячего такелажа, опрессовок, талрепов, наконечников.

Потеря устойчивости — это переход системы в целом, или какого-либо ее элемента, в новое состояние равновесия, которое, в большинстве случаев ведет к большим перемещениям, пластическим деформациям или полному разрушению. Устойчивость мачты зависит от ее материала, геометрии поперечного сечения и геометрической схемы подкрепления ее такелажем, при заданных на нее нагрузках. К вопросу о внешних нагрузках мы еще вернемся.

Потеря прочности — разрушение материала, ведущее к невозможности дальнейшей работы конструкции.

Усталостные разрушения возникают под воздействием напряжений, переменных во времени. Если уровень переменных напряжений превосходит определенный предел, то в материале детали происходит постепенное накопление усталостных повреждений структуры материала. Со временем эти повреждения приводят к образованию микротрещин, их объединению и росту, и в конечном итоге к разрушению детали. Очень сильно на возникновение усталостных разрушений влияют свойства материала и наличие концентраторов напряжений.

Абсолютно надежной мачты, к сожалению, спроектировать не возможно, но снизить риск потери мачты до некоторого разумного, обоснованного предела можно. Итого, при расчетном проектировании мачты необходимо оценить влияние всей совокупности перечисленных факторов на надежность мачты. В реальных задачах могут появиться дополнительные требования/ограничения. К примеру, мачта должна обладать определенной гибкостью, заданной наперед. Или иметь вес не более заранее назначенного. В общем, круг ограничений может быть весьма широк.

Об исходных данных для расчетов. Материалы и их особенности

Предположим, что нам необходимо выполнить проектировочный расчет мачты. Начнем с того, что нам известно. Известны, как правило, предварительные размеры парусов, положение мачты (мачт) по длине яхты и тип вооружения (топовое, дробное, с бакштагами, или без, поворотная или не поворотная мачта и проч.). Что для дальнейшей работы необходимо знать еще?

Чтобы выполнить расчеты, нужны расчетные нагрузки.

В общем случае, нагрузки на мачту определяются остойчивостью яхты. Чем больше максимальный момент остойчивости яхты, тем больше будет нагружена мачта, при одной и той же схеме вооружения и площади парусов.

Паруса, нагруженные   распределенным давлением при обтекании их воздухом, с одной стороны создают аэродинамические силы, закренивающие яхту и заставляющие ее двигаться, с другой стороны вызывают деформацию оболочки паруса. Деформации в парусе непосредственно связаны с внутренними усилиями в ткани. Собственно эти усилия и нагружают мачту или штаг. Т.е. парус прикладывает к мачте (штагу) пространственным образом сориентированную поперечную нагрузку. Проще говоря, грот тянет мачту назад и на подветер. Точно также передается нагрузка от стакселя на штаг.

Распределение нагрузки по длине мачты зависит от формы паруса, его настройки в данный момент, гибкости мачты и других факторов. Кроме этого мачта нагружается силами реакции гика, предварительной набивкой стоячего такелажа и фалов.

Поперечная нагрузка от стакселя, приложенная к штагу, приводит к его прогибу и растяжению. В штаге появляются внутренние усилия, направленные по его оси. В точках закрепления штага на мачте и штаг-путенсе будут действовать силы реакции, равные осевой силе в штаге и направленные по его оси.

Дополнительные составляющие внешних сил, которыми нагружается мачта — это силы инерции, возникающие при ударах яхты на волне. Бытует довольно распространенное мнение, что мачты ломаются от ударов яхты на волне. Безусловно, дополнительные нагрузки появляются, но они связаны не только с динамическими силами, действующими на мачту, но и от сил, передающихся на стоячий такелаж от изгиба корпуса, при плавании на волнении. Силы, связанные с деформациями корпуса, зависят от его жесткости. В одних случаях ими можно пренебречь, например, для стальной круизной яхты, в других — необходимо учитывать. Для многокорпусников эти силы практически всегда необходимо учитывать. Что касается инерционной составляющей на рангоут, то по нашим оценкам она невелика. Занимаясь методикой расчетного определения ударных давлений на корпус яхты при плавании на волнении, мы решили оценить инерционные составляющие сил приложенных к мачте, что несложно сделать, если знаешь величину пиковых ускорений. Расчет нескольких мачт догруженных дополнительной нагрузкой от сил инерции показал, что запас устойчивости мачт снижался примерно на 10%. Т.е. это можно просто учитывать в коэффициентах запаса прочности и устойчивости.

Постараемся более детально разобраться от чего зависит значение внешней нагрузки. Предположим, что мы рассматриваем различные типы парусного вооружения с одинаковой суммарной площадью, при одной и той же остойчивости яхты. Как связаны нагрузки на мачту с геометрией парусов? Чтобы проиллюстрировать влияние площади грота на величину распределенной нагрузки мы приводим частный график такого влияния.На рис.1 видно, как растет распределенная нагрузка на мачту при увеличении площади грота. При этом падает значение сжимающей мачту составляющая силы от штага, вследствие  уменьшения распределенного давления на штаг при уменьшении площади стакселя. То есть, с изменением соотношения площадей грота и стакселя меняется баланс сил приложенных к мачте. Или, если говорить иначе, на двух одинаковых по остойчивости и по суммарной площади парусов яхтах, нагрузки на мачту могут весьма существенно изменяться. Приведенные на рисунках результаты получены на основании расчетов по методике анализа нагрузок на мачты, разработанной А.Кульцепом [2]. Нагрузка в этой методике определяется из соображений равенства кренящего и максимального восстанавливающего моментов. Условно полагается, что эквивалентная боковая сила на парусах приложена в геометрическом центре парусности. Зная ее плечо, можно определить ее величину. Далее интегральная боковая сила разделяется между парусами, пропорционально их площади. Полагая, парус равномерно загруженным распределенным давлением, можно определить цепные напряжения, возникающие в оболочке паруса. Условно можно считать, что линии цепных напряжений направлены из шкотового угла паруса к мачте. Если закон распределения усилий, прикладываемых к мачте парусом принять постоянным, то величину этих усилий можно определить. В результате нагрузка прикладываемая парусом к мачте может быть разделена на реакцию фала и погонную поперечную нагрузку на мачту.

Поговорим поподробнее о распределении нагрузки от грота по размаху мачты. В [1] представлен график распределения нагрузки по размаху паруса. На основании численных экспериментов, мы пришли к выводу о том, что реальных вариантов распределения нагрузки по размаху мачты существенно больше. Зависит это в основном от жесткости самой мачты. На рис.2 представлены некоторые из них. Натурными экспериментами наверняка можно установить наиболее часто встречающиеся комбинации вариантов нагружений и вычленить из них наиболее опасные. Сейчас мы, к сожалению, вынуждены довольствоваться только результатами расчетов. Кроме этих факторов существенное влияние на распределение нагрузок на мачту может оказывать форма грота и его настройка. К примеру, закрытый, выбитый втугую грот, настроенный на средний ветер, больше загружает верхнюю треть мачты. При потравливании грота на  усилениях и при сильном изгибе мачты ахтерштагом наиболее загруженный участок мачты оказывается несколько ниже. Косвенно о приложении нагрузки на мачту от грота можно судить по положению складок и морщин на парусе. К примеру, слишком гибкая верхушка мачты может обеспечить практически полное отсутствие нагрузки в топовой части. В результате от шкотового угла к салинговой оковке проляжет мощная складка и положение наиболее загруженной части мачты окажется где-то вблизи от этого района. Все это говорилось к тому, что бы прояснить сложный характер распределения усилий и их взаимосвязь в системе мачта-парус.

В общем, качественно, с природой возникновения нагрузок на мачту мы разобрались. В предыдущих абзацах мы попытались показать насколько сложны и разнообразны нагрузки на мачту. И совершенно очевидно, что в практических расчетах мачт необходим единый подход к определению внешних нагрузок. Посчитать мачту на все многообразие внешних нагрузок в инженерном расчете возможным не представляется. В противном случае при расчете каждой новой мачты придется многие вещи делать «с нуля». К примеру, определять нормы запасов устойчивости и прочности. Современные методы расчетов позволяют нагрузить паруса аэродинамическим давлением, полученным расчетными методами, затем перейти к нагрузкам, действующих на мачту и после этого проводить расчеты местной и общей прочности. Но эта задача из расчетно-проектировочной превращается в расчетно-исследовательскую. Решение такой исследовательской задачи, позволяет глубже изучить поведение мачты под нагрузкой, приближенной к реальной, но не дает  возможности набрать нужную расчетную статистику, необходимую для нормирования напряженного состояния мачты. Кроме прочего, столь сложные расчеты с большим числом последовательных приближений и стоимостью необходимого для подобных задач программного обеспечения, может приблизиться к стоимости натурных замеров действующих внутренних усилий в мачте. А этот метод натурных замеров можно считать наилучшим с практической точки зрения и предпочтительным по сравнению с расчетом.

Применение единого, пусть и несколько упрощенного подхода к определению нагрузок  позволяет методом систематических расчетов давно находящихся в эксплуатации мачт определить необходимые для надежной эксплуатации коэффициенты запаса. Очень полезна, для систематизации расчетов, проверка мачт, сломаных в процессе эксплуатации. Здесь, к сожалению, есть проблема, заключающаяся в том, что не всегда возможно однозначно выяснить, по какой причине была сломана мачта. К примеру, сорванные заклепки на стакане краспиц или порванная топ-ванта, практически наверняка приведут к тому, что сломается сама мачта. Но определить, что сначала вырвало заклепки, а потом из-за этого сломалась мачта, или заклепки были вырваны уже при падении потерявшей устойчивости мачты выяснить можно не всегда. Экипаж яхты, потерявший мачту, не всегда может четко описать, как и в какой последовательности, все это происходило.

Необходимо отметить, что чаще всего наиболее опасным расчетным случаем является крутой бейдевинд. Большинство мачт (во всяком случае в расчетах) ломаются от потери устойчивости в продольной плоскости. На курсе крутой бейдевинд грот наибольшим образом выбит в ДП яхты. В связи с этим нагрузка от паруса направлена в сторону кормы и стремиться выгнуть среднюю часть мачты назад. На рис.3 показана типичная схема потери устойчивости для гибких мачт. Широко распространенное мнение о том, что при плавании в сильный ветер наиболее опасным с точки зрения прочности мачты является полный курс под спинакером, действительности в большинстве случаев не соответствует. Даже при брочинге нагрузки примерно такие же, как и при закренении яхты за мачту при помывке подводной части. Усилия в наветренной топ-ванте в этот момент действительно самые большие, по сравнению с остальными расчетными случаями. Для определения необходимого сечения топ-ванты этот случай является определяющим. Мы не рассматриваем случаев использования спинакера в качестве «плавучего якоря» на полном ходу и ловли попутной волны в грот. Какие при этом силы могут действовать на рангоут, — одному Богу известно.  Поэтому в практических расчетах, в целях экономии времени, мы иногда ограничиваемся расчетным случаем на лавировке. Но, так подходить ко всем мачтам, не верно. Для гибких мачт с большим числом пар краспиц и с топовым спинакером (генакером) случай ухода в брочинг в сильный ветер может быть определяющим. Также опасен этот случай может быть на мачтах, имеющих вырезы или другие концентраторы напряжений в местах, где действуют наибольшие изгибающие моменты. Примером мачты с недостаточной устойчивостью при брочинге можно назвать «Эльф» RUS 44 с гибкой мачтой пятью парами краспиц и двумя парами бакштагов. По расчетам получалось, что при ветре более 10-12 м/с попадание в брочинг должно привести к потере мачты. Что и было подтверждено на практике, правда при несколько более сильном ветре. Из-за поломки бушприта яхта ушла в брочинг и мачта была потеряна. В большинстве же случаев на полных курсах мачты теряются из-за отданного (порванного)  ахтерштага, что особенно часто встречается при использовании современных высокопрочных синтетических тросов из-за их нестойкости к истиранию.

Несколько слов о материалах применяемых для мачт и стоячего такелажа. Для выполнения расчетов прочности мачт необходимо детально знать характеристики материалов, из которых будет изготовлен рангоут и стоячий такелаж. Знание действительных характеристик материала позволит верно определить его работу в составе конструкции и правильно назначить нормы допускаемых напряжений и коэффициенты запаса. При использовании такого материала, как углепластик, возможно проектирование рангоута с заданной конструкцией собственно пластика. Меняя количество слоев и их ориентацию можно получить необходимые характеристики материала. В таких случаях необходимо проводить испытания образцов, чтобы сопоставить действительные характеристики с расчетными и определить диапазон разброса характеристик в зависимости от технологии изготовления.  Это отдельная очень серьезная задача, выходящая за рамки нашей статьи. Поэтому останавливаться на ней не будем.

Методика в целом и ее нюансы в частности

Основы методики расчетного проектирования мачт предложил лет пятнадцать тому назад доцент кафедры Конструкции корабля Морского Технического Университета, Александр Кульцеп [2]. Им и были разработаны первые компьютерные программы для расчета мачт и определения внешних нагрузок. В дальнейшем, методической частью и практическими расчетами занимались известные питерские яхтсмены и инженеры В.Алексеев и В. Манухин. Мы вопросами теории мачт и расчетами прочности занимаемся с середины 90-х годов. Основной вывод — чем больше этим занимаешься, тем меньше во всем этом понимаешь и задача непрерывно раздвигается и в ширь и вглубь! Если же говорить серьезно, то основная концепция методики не изменилась и по сей день. По схеме, описанной выше, на основании исходных данных по яхте и парусам, определяются внешние силы, приложенные к мачте. Понятно, что знание внешних сил нам еще ничего не говорит о напряженном состоянии мачты и такелажа, а так же о запасе ее устойчивости. Поясним термин запас устойчивости. Запас устойчивости равный единице — это тот случай, когда мачта теряет устойчивость при достижении нагрузки, при пошаговом ее увеличении, равной максимальной ее величине. Т.е. при той нагрузке, которая обусловлена величиной максимального  восстанавливающего момента яхты. Согласно методике считается, что нагрузки большие по величине, к яхте с такой остойчивостью, приложить не возможно. В расчетной практике этот коэффициент обычно принимается несколько большим, чем единица. Обеспечивается, таким образом, некоторый запас по устойчивости. Величина коэффициента запаса устойчивости зависит от наличия близких прототипов, назначения яхты, района ее эксплуатации. Понятно, что на гоночной яхте с высоко квалифицированным экипажем можно позволить несколько уменьшить запас, скажем, за счет более гибкого или легкого профиля, увеличить возможности по ее настройке, сэкономить вес и т.д. На яхте круизной или предназначенной для океанских плаваний, очевидно, запас должен быть больше.

Итак, мы дошли до расчета.  Чтобы этот запас устойчивости определить, расчет необходимо, так или иначе, выполнить. Посчитать такую сложную расчетную схему вручную не удастся. Для решения подобного рода задач обычно используют метод конечных элементов. Собственно решение может проводиться в пошаговой линейной постановке или в нелинейной. Углубляться в это мы не станем, но можно сказать, что при различных методах решений коэффициенты запаса прочности и устойчивости следует полагать различными. Собственно расчет в наше время особой трудности представлять уже не может. Основные проблемы возникают в накоплении статистического материала по поведению на практике мачт и сопоставление их с расчетом. Как это не парадоксально звучит, для того чтобы мачты уметь хорошо проектировать расчетными методами необходимо, чтобы они иногда ломались. Только в этом случае можно оценить реальный запас устойчивости (или прочности). То, что проблема расчетного проектирования мачт очень сложна, можно судить по яхтам Кубка Америки. Несмотря на заоблачные по нашим меркам бюджеты, мачты у них периодически ломаются. А расчеты там проводят, надо полагать, серьезные.

Расчеты общей прочности мачты и расчет узлов

Сам расчет прочности проводится примерно по следующей схеме. Принимаются основные характеристики поперечных сечений мачты, краспиц, тросов. Делается это либо из прототипных соображений, либо  из общепроектных.  Определяется  общая геометрия мачты и такелажа, т.е. принимается число краспиц, выбираются точки крепления элементов стоячего такелажа. Короче говоря, выбирается схема, не противоречащая общей концепции проекта. Если, к примеру, бакштаги не предусмотрены проектом, то они и не вводятся в расчетную модель. Конструкция нагружается соответствующими силами и распределенными нагрузками: реакцией гика, силами от действия фалов, распределенной нагрузкой от парусов и т.п. Производится пробный расчет. Результатами расчетов являются значения коэффициента запаса устойчивости и эпюры действующих сжимающих-растягивающих сил

и изгибающих моментов (рис.5) в ДП и в плоскости шпангоута, перерезывающих сил, либо непосредственно эпюры действующих напряжений(рис.6), в зависимости от используемого программного обеспечения. При анализе эпюр производится сравнение действующих в конструкции напряжений с допускаемыми для выбранных материалов. Если действующие напряжения меньше допускаемых и запас устойчивости достаточен, то мачту можно считать достаточно надежной. Одним расчетом, как правило, дело не ограничивается. Даже если формально все требования удовлетворены, обычно имеет смысл поработать с мачтой еще. Подбором положения краспиц и крепления тросов стоячего такелажа можно напряженное состояние мачты сделать более равномерным. То есть, добиться более равномерного распределения напряжений по размаху мачты. Это поможет избавиться от избыточной концентрации напряжений на локальных участках мачты. Что в свою очередь ведет к повышению ее надежности.

В том случае, если предварительный расчет не дает нужного результата, не соответствует либо запас устойчивости, либо прочность меньше нормативной, приходится приниматься за детальный анализ, и затем корректировку расчетной схемы. Арсенал средств очень велик. Простейший способ, как правило, — увеличение профиля поперечного сечения мачты. Этот способ далеко не всегда доступен, по разным причинам. Тогда в ход идет изменение конструктивной схемы. Могут быть смещены или добавлены краспицы, изменен угол их стреловидности, добавлены дополнительные бакштаги или ванты. Может быть принято решение об усилении отдельных участков мачты накладками. В общем, вариантов много и в каждом конкретном случае они принимаются исходя из внешних ограничений и предпочтений того, кому проектируется эта мачта. В отдельных случаях, при проектировании гоночных яхт, когда существуют жесткие лимиты веса, возможно создание «условно надежных» мачт. Высоко квалифицированные гонщики могут позволить себе мачту, которая будет надежно стоять при правильных действиях экипажа и выполнении требований по обеспечению определенной набивки стоячего такелажа. Поясним это. В случае сильно развитых гибких мачт, подбором схемы набивки такелажа можно добиться, в отдельных случаях, повышения устойчивости мачты на 30-40%. Этот эффект может быть получен при строго определенной предварительной набивке стоячего такелажа. На практике это требует замера натяжения при настройке вант и приведения его в соответствие с расчетом. Дело это весьма не простое и кропотливое. Расчет такой мачты, подбор наиболее эффективного варианта предварительного натяжения, может потребовать повторения расчетов до нескольких десятков.

Для окончательно выбранного варианта выполняются расчеты для курсов отличных от крутого бейдевинда и для случая несения спинакера. По наибольшим силам действующих в тросах стоячего такелажа производится подбор диаметров тросов стоячего такелажа, и выбираются конструкции крепления тросов к мачте. На этом расчет общей прочности мачты можно считать законченным.

При необходимости, в случае высоконагруженных мачт, могут потребоваться дополнительные расчеты, для более детального анализа напряженного состояния отдельных узлов и элементов. К примеру, может быть обсчитано напряженное состояние в районе какого-либо выреза для выяснения степени концентрации напряжений.

Некоторые рекомендации

В конце статьи, мы рискнем дать несколько кратких рекомендаций, касающихся мачт и их расчетов.

Расчет мачты не гарантирует, во-первых, ее стопроцентной надежности в эксплуатации, а во-вторых, качества изготовления самой мачты. Правильно спроектированная мачта может сломаться из-за некачественного сварного шва или плохо выполненной опрессовки.

Необходимость расчета… Если у вас есть возможность сделать/заказать точно такую же мачту как на знакомой вам яхте с такой же остойчивостью, мачта которой себя хорошо зарекомендовала и оказалась надежной в работе, то стоит сделать такую же. Проверенные узлы и схемы, с точки зрения надежности, всегда лучше. Но если необходимо сделать что-то действительно новое, то лучше, конечно, выполнить расчет, ведь сломанная мачта обойдется вам значительно дороже.

Методы расчетов мачт позволяют не только решать вопросы прочности, но и использовать результаты расчетов изгиба мачт для проектирования формы наиболее подходящего для нее грота. Естественно это имеет смысл при первом пошиве паруса на новую мачту. В дальнейшем,  удобнее пользоваться корректировкой предыдущего паруса для доведения формы до требуемой.

И некоторые практические рекомендации для условий сильного ветра. Мы не в коем случае не полагаем их единственно верными, но многие из них были благополучно использованы на практике. Это рекомендации для случая, если у вас начинают появляться сомнения в правильности поведении мачты. Проявляться это может в следующем: на сильных порывах появляется складка на гроте, направленная примерно к трети высоты мачты, считая снизу. Это говорит о том, что мачта недостаточно закреплена от прогиба вперед и при неблагоприятных обстоятельствах может потерять устойчивость, уйдя средней частью в сторону носа лодки. В этом случае можно попытаться отрегулировать ее поведение добивкой чек-стея, или если их нет, завести топенант спинакер-гика назад, к узлу крепления бакштагов или какой ни будь прочной утке, оковке. Чем дальше точка закрепления будет отнесена в корму — тем лучше. В случае использования топенанта в качестве дополнительного бакштага не стоит забывать о том, что он может перетереться в месте выхода из мачты.

Если при порывах изогнутая ахтерштагом мачта пытается выпрямиться в средней части, то действия должны быть противоположными. Топенант спинакер-гика стоит завести вперед, в качестве бэби-штага и поднабить так, чтобы появилась легкая выгнутость в нос. Кроме этого стоит еще подбить ахтерштаг, но тут стоит знать меру и ориентироваться по поведению мачты. Набивая бакштаги следует помнить, что они не только поддерживают мачту, но и добавляют сжимающие нагрузки, чрезмерная их набивка может и «сложить» мачту. Эти рекомендации относятся в первую очередь к гонщикам. На яхте находящейся в круизном плавании имеет смысл уменьшить площадь парусов, а не рисковать мачтой.

В сильный ветер, особенно при ходе под спинакером не стоит сильно перебивать гик-оттяжку. Усилие, которое может организовать гик-оттяжка — колоссально. Мы сталкивались, как минимум, с двумя случаями в практике когда именно из-за перебитой гик-оттяжки были сломаны мачты. Если же вы любите набивать гик-оттяжку «до звона», то лучше предусмотреть установку дополнительных вант от гика к вант-путенсам.

Если яхта попала в неожиданный сильный шквал под полными парусами и у вас нет возможности увалиться до полного бакштага (например из-за близости берега) и видно, что это именно шквал и он скоро пройдет, то лучше срубить стаксель, а не грот, как это чаще всего делается. Причина в следующем: убрав грот вы тем самым снимаете с мачты поперечную нагрузку и она начинает испытывать только сжимающую от действия штага. В случае дальнейшего усиления ветра, без возможности уваливания, стаксель воспримет всю нагрузку, которая как мы помним зависит прежде всего от остойчивости яхты, на себя, и крен дойдет до предельного. В таком случае рулевой как правило пытается привестись, или если это не получается, потравить стаксель. В любом случае стаксель начинает очень сильно биться на ветру и эта пульсирующая нагрузка может создать условия для резонансных колебаний мачты, лишенной поперечной нагрузки от грота. Сжимающая и изгибающая сила от штага при этом никуда не исчезнет и будет по-прежнему нагружать мачту. Оставшись же под одним гротом, вы сможете более спокойно привестись к ветру или просто растравить грот. Вы можете лишиться лат или даже порвать грот, но вероятность сохранить мачту при этом заметно выше. При растравливании грота очень сильно уменьшатся как поперечная, так и сжимающая нагрузки.

Литература

1. В.А.Манухин. Анализ НДС паруса треугольной формы. Государственный морской технический университет, Санкт-Петербург, Россия.
2. Кульцеп А.В. Проектирование мачт парусных судов/ Проблемы проектирования конструкций корпуса, судовых устройств и систем, Сб.тр. СПбГМТУ, 1995, с.90-96.